1 内容：
2 设 \(a,b\) 是不全为零的整数，则存在整数 \(x,y\), 使得 \(ax+by=gcd(a,b)\).
2.1 证明：
设取 \(x_0\), \(y_0\) 时，\(ax+by\) 的最小整数是 \(s\).即 \(ax_0+by_0\) = \(s\)
因 \(gcd(a,b)|ax_0\) ， \(gcd(a,b)|ay_0\)
所以 \(gcd(a,b)|s\) \(.........(1)\)
设 \(a=qs+r(0\le r\le s)\)
\(r=a-qs=a-q(ax_0+by_0)=a(1-qx_0)+b(-qy_0)=ax+by\)
因为 \(s\) 是最小整数，\(\Rightarrow r=0\)
所以 \(s|a\),同理 \(s|b\)
\(\Rightarrow s|gcd(a,b)\) \(..........(2)\)
由 \((1)(2)\) 可得 \(s=gcd(a,b)\).
证毕。
3 逆定理：
设 \(a, b\) 是不全为零的整数，若 \(d > 0\) 是 \(a, b\) 的公因数，且存在整数\(x, y\), 使得 \(ax+by=d\)，则 \(d = gcd(a, b)\)。
特殊地，设 \(a, b\) 是不全为零的整数，若存在整数 \(x, y\), 使得 \(ax+by=1\)，则 \(a, b\) 互质。
4 进一步结论:
对自然数 \(a\)、\(b\) 和整数 \(n\)，\(a\) 与 \(b\) 互素，考察不定方程： \(ax+by=n\) 其中 \(x\) 和 \(y\) 为自然数。如果方程有解，称 \(n\) 可以被 \(a\)、\(b\) 表示。
记 \(C=ab-a-b\)。由 \(a\) 与 \(b\) 互素，\(C\) 必然为奇数。则有结论：
对任意的整数 \(n\)，\(n\) 与 \(C-n\)中有且仅有一个可以被表示。
即：可表示的数与不可表示的数在区间 \([0,C]\) 对称（关于 \(C\) 的一半对称）。\(0\) 可被表示，\(C\) 不可被表示；负数不可被表示，大于 \(C\) 的数可被表示。
例如在 \(luogu P3951\) 就只是为了求 \(ab-a-b\) 的值